ফিবোনাচ্চি রাশিমালা

আপনারা আকাশে সন্ধ্যা বেলা মাঝে মাঝে ঝাক বেধে বক উড়ে যেতে নিশ্চয় দেখেছেন। খুব সুন্দর দেখায় একসাথে অনেকগুলো বক একত্রে উড়তে। কখনো কি আমারা বক গুনে দেখেছি?? হয়তোবা দেখা হয়নি। শুধু বাহ্যিক সৌন্দর্য দেখেছি। এখানে মজার বিষয় হল বকের ঝাক একটি নির্দিষ্ট রাশিমাল মেনে চলে। হয়তো ভাবছেন কিভাবে?? যদি খুব মনোযোগ দিয়ে গুনে দেখেন বক যখন ঝাক বেধে যাবে সেই সারিতে ৮ টি,১৩ টি, ২১ টি এই রাশিমালার সংখ্যাগুলো পাওয়া যাবে।এটাই হচ্ছে ফিবোনাচ্চি রাশিমালা ।আপনি কখনোই দেখবেন না যে সারিতে ১০ টি কিংবা ২২ টি বক আছে!!!বিষয়টি খুব মজার । তাই না???

আসুন আমরা জেনে নেই ফিবোনাচ্চি রাশিমালা কি!!!!

‘ফিবোনাচ্চি রাশিমালা’র জন্মদাতা ইতালির নাগরিক Leonardo Pisano (১১৭৫-১২৫০)।লিওনার্দো অব পিসা, যিনি ফিবোনাচ্চি  নামেই সমধিক পরিচিত । মৃত্যুর আগে একবার Leonardo Pisano কে তাঁর তৈরি রাশিমালা নিয়ে জিজ্ঞেস করা হলে তিনি বলেছিলেন, ‘প্রকৃতির মূল রহস্য এই রাশিমালাতে আছে। অর্থাৎ এই রাশিমালা দিয়ে প্রকৃতির অনেকখানি বাখ্যা করা যায়। সেটা জানার আগে আসুন রাশিমালাটা দেখে নিই,

ফিবোনাক্কি রাশিমালা হচ্ছে ০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ৫৫, ৮৯, ১৪৪, ২৩৩, ৩৭৭, ৬১০, ৯৮৭...........  ইত্যাদি। মজার ব্যাপার হলো এদের একটার সাথে আরেকটার ভাগফল ০.৬১৮  থেকে ১.৬১৮ এর মধ্যে উঠানামা করে। লক্ষ করুন, এখানে মুল ভিত্তি কিন্তু ০,১। এরপর প্রতি দুইটি পুর্বপদ ও পরপদের যোগফল হিসাবে তৃতীয় পদ লেখা হচ্ছে।
০+১ =১
১+১= ২
২+১= ৩
৩+২=৫
৫+৩=৮
৮+৫=১৩
১৩+৮=২১...........

এভাবে অদ্ভূত নিয়মে ক্রমান্বয়ে এগিয়ে এই রাশিমালার মধ্যে কিছু বৈশিষ্ট্য প্রত্যক্ষ করা যায়, যেমন : এ রাশিমালার যে কোন চারটি সংখ্যা নেওয়া হলে প্রথম ও চতুর্থ সংখ্যার যোগফলের সাথে দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার যোগফল বিয়োগ করা হলে ফলাফল অবশ্যই সবসময় ঐ চারটি সংখ্যার প্রথমটি হবে। ব্যপার টুকু একটু বুঝাই বলি ধরা যাক চারটি ফিবোনাচ্চি রাশি ২, ৩ , ৫, ৮। প্রথম ও চতুর্থ সংখ্যার যোগফল (২ +৮)= ১০, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার যোগফল (৩ + ৫)= ৮ বিয়োগ করলে বিয়োগফল হচ্ছে ২, যা কিনা আমাদের ধরে নেওয়া চারটি সংখ্যার প্রথম সংখ্যা।আরও মজার বিষয় হচ্ছে ধারাটির ১১ তম পদ ৮৯ দিয়ে ১ কে ভাগ করলে, ১/৮৯=০.১১২৩৫৮১৩২১৩৪৫৫৮৯....... অর্থাৎ পুনরায় ফিরে আসছে রাশিমালা। ফিবোনাচ্চি সংখ্যার মধ্য লুকিয়ে আছে ফিবোনাচ্চি রাশিমালা।

এই রসহীন গানিতিক ধারাকে আমি কেন এত মজার বলছি জানতে চান? সূর্যমুখী ফুলের পাপড়ি বিন্যাসে, ক্যকটাস গাছের পুরুত্বে, পাইন গাছের মোচায় ফিবোনাক্কি রাশিমালার সংখ্যা পাওয়া যায়। শামুকের যে স্পাইরাল দেখা যায় সেখানেও ফিবোনাচ্চির রাশিমালার উপস্থিতি রয়েছে। শীতের সময় আমাদের দেশে সুদূর সাইবেরিয়া হতে ‘অতিথি পাখি’ ঝাকে ঝাকে আসে। মৌমাছিদের জীবনযাত্রায়ও রয়েছে ফিবোনাক্কি রাশিমালার উপস্থিতি।

ফিবোনাচ্চি রাশিমালা কীভাবে মৌমাছির জীবনযাত্রার উপরও প্রভাব ফেলে। বিষয়টা বুঝানোর আগে মৌমাছির প্রজননের বিষয়ে অন্তত দুটি নিয়মের ব্যাপারে জানা দরকার। নিয়ম দুটি হলঃ
১) যদি একটি যৌন জনন না করা স্ত্রী মৌমাছি ডিম পাড়ে তাহলে ডিম থেকে বের হয় পুরুষ মৌমাছি!
২) যদি ডিমটি পুরুষ মৌমাছি দ্বারা নিষিক্ত হয় (অর্থাৎ জনন হয়) তাহলে ডিম থেকে বের হয় স্ত্রী মৌমাছি!!
অর্থাৎ একটি পুরুষ মৌমাছির সবসময়ই একজন প্যারেন্ট বা মাতা থাকে কিন্তু একটি স্ত্রী মৌমাছির থাকে দুটি প্যারেন্ট বা পিতামাতা!!!
এখন আমরা যদি একটি পুরুষ মৌমাছির পূর্বপুরুষ দেখতে চাই তাহলে দেখতে পাবো যে –
একটি পুরুষ মৌমাছির ১টি প্যারেন্ট(মাতা), দুটি গ্র্যান্ড প্যারেন্ট(মাতার পিতা-মাতা অর্থাৎ নানা-নানী), তিনটি গ্রেট গ্র্যান্ড প্যারেন্ট(নানার মা এবং নানীর পিতামাতা) এবং ৫ টি গ্রেট গ্রেট গ্র্যান্ড প্যারেন্ট থাকে। এভাবে যতই পিছনের দিকে যাওয়া যায় ততই বাড়তে থাকে।
নিচের চিত্রটি দেখলে সম্পূর্ণ ব্যাপারটি আরও সহজবোধ্য হয়ে উঠবে।

এখানে আমরা পুরুষ মৌমাছিটি সহ মৌমাছির ৬ টি জেনারেশন বা প্রজন্মের কথা বলেছি। এখন এই ৬ টি প্রজন্মের প্রত্যেকটি ধাপে মৌমাছির সংখ্যা হল – ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮।এই ধারাটি ফিবনাচ্চি ধারার অন্তর্ভুক্ত। এভাবে আমরা যদি আরও পিছাতে থাকি তাহলে ফিবনাচ্চি রাশিমালা অনুসারেই মৌমাছির সংখ্যা পাবো – ১৩, ২১, ৩৪, ৫৫, ৮৯,১৪৪……………………….ইত্যাদি। অর্থাৎ মৌমাছির বংশধারা সম্পূর্ণরূপে ফিবনাচ্চি রাশিমালা দ্বারা নিয়ন্ত্রিত।

মৌমাছির মতোই ঠিক একইভাবে খরগোশের বংশবৃদ্ধিও ফিবনাচ্চি রাশিমালা দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়।
আসুন এবার আমরা খরগোস সমস্যার সমাধান দেখে নেইঃ
১ম মাসে খরগোশের সংখ্যাঃ ১ জোড়া(পিতা মাতা),
যারা প্রথম মাসের শেষে প্রজনন ঘটায় এবং দ্বিতীয় মাসের শেষে একজোড়া খরগোসের জন্ম দেয়। অর্থাৎ,
২য় মাসে, খরগোশের সংখ্যাঃ ১ জোড়া,
৩য় মাসে, খরগোশের সংখ্যাঃ ২ জোড়া (পিতা-মাতা ও নতুন এক জোড়া),

তৃতীয় মাসের শেষে একজোড়া খরগোশ (পিতা মাতা) আবার নতুন এক জোড়ার জন্ম দিলেও তৃতীয় মাসের নতুন জোড়া খরগোশ উৎপাদন করবে না( কেননা তারা উৎপাদনশীল হতে একমাস সময় নেয়)। ব্যাপারটি ঝাপসা মনে হলেও নিচের চিত্রটি আপনার ধারনাকে পরিষ্কার করবে।

এখান থেকে আমরা দেখতে পাই প্রতিমাসে মোট জোড়ার সংখ্যা তার আগের দুই মাসের মোট জোড়ার যোগফলের সমান।

এই রাশিমালাটির মধ্যেই লুকিয়ে আছে প্রাকৃতির অনেকখানি রহস্যের উত্তর। আর এ কারনেই মনে হয় এই রাশিমালাটিকে মানুষ মনে করে রেখেছে যুগ যুগ ধরে। এটাতো ফিবোনাক্কি রাশিমালার মজা, মানুষকে অবাক করে দেবে নতুন বিস্ময়ে!! আমারা সংখ্যাকে আজ রসহীন তৈরী করে ফেলেছি। কিন্ত যারা প্রকৃত

গনিত প্রেমী, তাদের কাছে সংখ্যা অনেক মজার ও আদরেরে জিনিস।


MD. SOHEL RANA
AMERICAN INTERNATIONAL UNIVERSITY OF BANGLADESH
Email: sohelrana1st@gmail.com
https://www.facebook.com/MrRana.SR
তথ্য সূত্রঃ

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

http://www.chabad.org/library/article_cdo/aid/463900/jewish/Deciphering-Natures-Code.htm